El "tiro" de la guitarra
La afinación de la orquesta y el "tiro" de la guitarra,
dos polémicas sin resolver
(Por Juan Menduiña Fernández)
La motivación inicial de mis investigaciones se centraron sobre la guitarra, que es además mi instrumento favorito, por esta razón deseo que esta publicación sea un modesto homenaje a ella.
Para exponer de forma simplificada algunas de las conclusiones de mis investigaciones, voy a utilizar la polémica de ¿cuál es el “tiro” (longitud de las cuerdas) exacto de la guitarra?. Para posteriormente, enlazar con otras de mayor entidad como son, las de la afinación de la orquesta y la construcción de instrumentos.
Andrés Segovia, defendió siempre el “tiro” de 660 mm (66 cm) e incluso mayores, con él han coincidido y coinciden los guitarristas flamencos y otros muchos; en el otro extremo de la polémica se encuentran un numeroso grupo de interpretes que demandan el “tiro” de 650 mm (65 cm), incluso menores aduciendo razones anatómicas.
Para resolver este dilema necesitamos dos respuestas: la primera, conocer como se relaciona la frecuencia de afinación, con el “tiro” del instrumento y la segunda ¿la frecuencia de afinación es la correcta?.
Precisamente, al inicio de nuestras investigaciones para desarrollo del Sistema Menduiña, se nos plantearon preguntas relacionadas con las expuestas en el párrafo anterior, y son las siguientes: la primera resolver la relación que existía entre las frecuencias y los puntos nodales y la segunda como influía la naturaleza del elemento vibrante con la frecuencia emitida.
Llegamos a la conclusión general y evidente, de que lo realmente importante era la relación entre la frecuencia de afinación con todas las características de construcción del instrumento, (“tiro”, dimensiones de las cajas de resonancia, distancias de los puntos nodales de la tapa armónica, etc.).
Pitágoras en el siglo V a.c., comprobó experimentalmente, que la razón de octava y la longitud de la cuerda vibrante (razón nodal) en ambos casos era dos (2), es decir, si una cuerda tensada y que vibra con una determinada frecuencia, la hacemos vibrar sujeta por el centro, las dos mitades iguales resultantes, lo hace a doble frecuencia, si de nuevo esta mitad la volvemos a sujetar por el centro vibra cuatro veces más rápida, si de nuevo la volvemos a dividir por la mitad, vibra ocho veces más rápida que cuando estaba la cuerda al aire y así sucesivamente.
En la guitarra, todos conocemos que cualquier cuerda vibra a doble frecuencia, o lo que es lo mismo una octava más alta, en el traste 12 que pulsada al aire, ya que el traste 12 es la mitad del “tiro” (longitud) de la cuerda, si la pudiésemos pisar en el traste 24 sonaría una octava más alta y la frecuencia de vibración seria el doble que la del traste 12, es decir, cuatro veces más rápida que pulsada al aire. Por tanto, la razón de octava y la nodal coinciden, y se ajusta a la siguiente secuencia: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,.. etc. es una secuencia de números que pertenece a un sistema binario, (igual que el de los ordenadores, curioso ¿no?).
Sin embargo, una cosa que no consiguió Pitágoras y así lo recogen sus discípulos, fue la forma de dividir la cuerda, para pasar de una octava a otra coincidiéndole la relaciones de frecuencias, el resultado fue, admitir que le faltaba conocimiento en el desarrollo matemático para poder hacer una división igual y exacta (afinación temperada), (lo de afinación igual, es un termino que induce a error, se debe de utilizar el termino de progresión, ya que se trata de una progresión de una rama de hipérbola).
Actualmente, gozamos de un desarrollo suficiente, como para poder dividir cualquier cuerda en cualquier intervalo. En el caso de la música occidental, como todos sabemos, el intervalo son doce semitonos “iguales” (progresión), y la constante de progresión es, el valor correspondiente a raíz doce de dos, de tal forma, que el índice de la raíz es el valor del número de semitono en que queremos dividir la octava, en el caso que nos ocupa son doce semitonos y dos es la razón de octava; expresado matemáticamente 2 1/12 y calculado el resultado es el conocido numero:
λ = 1.0594630943593.
La longitud de las cuerdas están limitadas por dos nodales de primer orden, que tienen que estar situados a una distancia múltiplo de la frecuencia de afinación y de la razón de octava, dicho esto surge la pregunta de ¿cómo es posible relacionar frecuencias (ciclos/segundos) con longitudes (milímetros)?. Existen varias respuestas, tanto de tipo matemático como empírico, la mas sencilla y conocida es la formula que nos relaciona, la frecuencia de vibración, la longitudes de onda y la velocidad de propagación, expresada en la conocida ecuación.
Vp (m/s) = Lo (m) x F (Hz)
Vp = Velocidad de propagación (metros/segundo)
Lo = Longitud de Onda (metros)
F = Frecuencia (Hz)
De donde se obtiene:
Lo (m)= Vp (m/s)/F(Hz)
Otra comprobación, esta mitad empírica mitad matemática, muy evidente nos surge cuando calculamos la progresión de semitonos que es una función de la frecuencia de afinación y de λ, igual que lo es la división de trastes o lo que es lo mismo la longitud de cuerda.
Falta una pequeña reflexión, sobre la pregunta de ¿cómo incluye las características de los materiales que generan la nota musical con el intervalo de frecuencia y con las distancias nodales?.
Existen formulas matemáticas que nos relacionan, la tensión, los módulos elásticos y la frecuencia emitida, sin embargo, no queremos entrar en su exposición, mejor vamos a poner un sencillo ejemplo, que resuelve este dilema fácilmente: una cuerda de nailon tiene un módulo elástico muy diferente a la que tiene una de acero, sin embargo, ajustadas las dos a una determinada frecuencia de afinación, ambas tienen la misma progresión nodal (trastes) y la misma progresión musical (frecuencias), por tanto, la progresión de frecuencias y la progresión de distancias nodales, es independiente del material empleado, otra cosa, pero que no tiene nada que ver con lo que estamos exponiendo, es el timbre diferenciador de cada uno de los materiales con los que están construidos las cuerdas.
En consecuencia, los dos elementos esenciales que deben estar incluidos en la construcción y en la afinación de todos los instrumentos y por derivación el de la orquesta, son: el rango de frecuencias con las que trabaja el instrumento y la progresión de la razón de octava que debe de estar presente en al menos una nota de cada octava.
En la actualidad no se cumple ninguna de estas dos premisas: la primera, por que los instrumentos no están construidos con criterios de intervalos de frecuencias, sino por criterios empíricos y la segunda, tampoco ya que en el Acuerdo de Londres de 1939, no se incluyen las frecuencias correspondientes a la de razón de octava ajustada a la Ley de Armónicos Universales (Mersenne, Juan Sebastián Bach, etc.)
Insistiendo sobre estas ideas, tenemos que reconocer que el diseño y la construcción de muchos de los instrumentos que se utilizan, son de épocas anteriores al Acuerdo de Londres, por tanto, o bien estaban ajustados a las frecuencias de afinación de cada país, cosa que hay que dudar por la homogeneidad de formas y dimensiones o hemos de admitir que se construían por simples criterios empíricos. Con respecto a los nuevos, también hemos de aceptar que se han construido y se continúan construyendo, como ya decíamos, siguiendo patrones antiguos. En conclusión; los instrumentos no están construidos, ni con criterios de intervalos de frecuencias, ni con criterios de frecuencias de afinación.
Si analizados en las condiciones, situación, en la que se encontraban y las vicisitudes por las que habían pasado las afinaciones de las orquestas en Europa entendemos el resultado del Acuerdo de Londres.
Händel (1685-1759) fue el primero en utilizar un diapasón de horquilla tomando como referencia de afinación 422.5 Hz, muy utilizada por grandes compositores y músicos.
En toda Europa las afinaciones hasta 1933 variaban mucho de unos países a otros en Francia se usaba 374 Hz, en Alemania 567 Hz, otra afinación muy utilizada fue la de 404 Hz.
Lo cierto es que había que llegar a un acuerdo y se llego a una solución de compromiso el LA a 440 Hz.
Con lo anteriormente expuesto, llegamos a la evidencia de que para que un instrumento este ajustado armónicamente, las distancias nodales deben de coincidir con las longitudes de ondas de las frecuencias con que trabaja, que a su vez son una función de la frecuencia de afinación y de la constante de intervalo λ.
Vamos a insistir sobre lo expuestos, calculando las frecuencias de la escala musical y las distancias nodales o lo que es los mismo la longitud de las cuerdas.
Si partimos de la frecuencia del La, 440 Hz y multiplicamos por λ obtenemos el valor de 466,163761518090 (La#); si este valor lo volvemos a multiplicar de nuevo por la constante obtenemos el valor de SI y así sucesivamente hasta llegar al Mi, que es el tono de afinación de la guitarra:
| La | 440,000000000000 |
|---|---|
| 466,163761518090 | |
| Si | 493,883301256124 |
| Do | 523,251130601198 |
| 554,365261953745 | |
| Re | 587,329535834816 |
| 622,253967444162 | |
| Mi | 659,255113825741 |
Como la razón de octava, es dos (2), la frecuencia del Mi de la primera cuerda será la mitad, es decir, la frecuencia calculada es la frecuencia que emite la guitarra cuando se pulsa pisada en el traste doce (12) que a su vez es el valor medio del intervalo del rango del instrumento o lo que es lo mismo coincide con el doble de la frecuencia de la cuerda primera pulsada al aire . Por este motivo, vamos a calcular la situación de los traste partiendo de un “tiro” que se corresponda con la frecuencia del Mi (659.2551...) y comprobaremos que son exactamente los mismos valores que los valores de frecuencias.
Igual que antes hemos multiplicado la frecuencia de afinación (440 Hz) por λ, hasta llegar a Mi, ahora vamos a dividir esta frecuencia del Mi (659.255113825741), por la constante, con lo que obtenemos la longitud de la cuerda vibrante pisada en el primer traste, que resulta ser 622,253967444162 mm o lo que es lo mismo la frecuencia del Mi bemol, si de nuevo dividimos este numero por λ, obtenemos el valor del segundo trate o lo que es igual la frecuencia del Re y así sucesivamente para todos los trastes.
| Cuerda aire (“tiro”) | 659,255113825741 | Mi |
|---|---|---|
| Primer traste | 622,253967444162 | |
| Segundo traste | 587,329535834816 | Re |
| Tercer traste | 554,365261953745 | |
| Cuarto traste | 523,251130601198 | Do |
| Quinto traste | 493,883301256124 | Si |
| Sexto traste | 466,163761518090 | |
| Séptimo traste | 440,000000000000 | La |
| Octavo traste | 415,304697579945 | |
| Noveno traste | 391,995435981749 | Sol |
| Décimo traste | 369,994422711635 | |
| Undecimo traste | 349,228231433004 | Fa |
| Duodécimo traste | 329,627556912870 | Mi |
La ultima frecuencia calculada se corresponde con el Mi de la primera cuerda al aire, es decir la progresión de frecuencias es inversa a la progresión nodal.
Con esto tenemos completado los cuatro principios que necesitamos para poder desarrollar y reflexionar sobre el “tiro” de la guitarra y que son los siguientes:
- La razón de octava y la nodal la misma dos (2).
- La división de escala y la nodal son una función de λ
- La afinación con origen en el LA en 440 Hz (Acuerdo de Londres)
- La relación entre frecuencia y longitud nodal.
Ya podemos opinar acerca de la polémica inicial, si nos ajustamos a la afinación partiendo del LA a 440 Hz (nota de octava de afinación), entonces, Andrés Segovia y otros muchos guitarristas tienen razón, cuando utilizan o utilizaba, el “tiro” de 659.2551 mm (660).
Sin embargo, si aceptamos la importancia de ajustar la escala musical a la Ley de los Armónicos Universales, entonces la nota de octava de afinación debe de ser uno de los siguientes números:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ......etc.
Otra cuestión diferente, es la nota elegida, que es lo que venimos llamando nota de octava. Nuestra propuesta es la de que sea el Do entre otros motivos, para resolver la polémica del “tiro” de la guitarra y por que además es, la que queda mas próxima al valor del La a 440 Hz.
Así si tomamos el Do como nota octava y le damos el valor de 512 Hz; al dividir o multiplicar por λ según deseemos para obtener tonos más graves o más agudos tenemos los siguientes números:
| La | 430,538964609902 |
|---|---|
| 456,140143687854 | |
| Si | 483,263648093027 |
| Do | 512,000000000000 |
| 542,445104311959 | |
| Re | 574,700568734399 |
| 608,874042881393 | |
| Mi | 645,079577546175 |
Por tanto, en este caso el “tiro” de la guitarra seria de 645.0795 mm, con lo que la demanda del otro grupo de guitarristas estaría justificada.
Podríamos pensar, que la estadística de las características anatómicas de los guitarristas es para este “tiro” (650), dudo mucho que diez (10) milímetros, cinco (5) distribuidos en los 12 primeros trastes (330 mm, 325 mm) sea el condicionante de esta demanda, ni que los guitarristas flamencos tengan la mano más grande, ni que la tensión de las cuerdas sea la justificación, ¿no serán las características de su sentido musical, que les esté indicando este tiro y se refleje en sus manos? ¿no será la demanda de utilizar unas frecuencias ajustadas a los Armónicos Universales?.
A favor, de esta última tesis, tenemos la insatisfacción en la afinación de la orquesta (cada vez subiendo más), se justifica diciendo que los metales “tiran hacia arriba”, pienso que mas bien es la misma insatisfacción que tienen los guitarristas y muchos músicos con su propio instrumento.
En 1939, cuando se adoptó el 440 Hz surgieron importantes quejas de los que utilizan su voz como instrumento, en estos momentos entendemos el sentido de su demanda.
Actualmente, se está afinado a 442 Hz, este cambio de frecuencia es más simbólico que efectivo, como se puede comprobar al estudiar y reflexionar sobre la tabla de frecuencias adjuntas, más bien es una forma inconsciente de protestar por la insatisfacción que les produce, el no estar dentro del rango de frecuencias de los Armónicos Universales, o es posible que sea la sonoridad de los instrumentos, al generar frecuencias que no se corresponden con ninguna del intervalo de los doce semitonos ni de sus múltiplos.
Soy consciente, de que la propuesta que hago implica un gran numero de interrelaciones que afectan a intereses económicos, y por tanto, la implantación de los principios que se han expuesto deberán realizarse de una forma más o menos larga. También, es cierto, que un cambio de este tipo favorece notablemente a la música y a la industria de construcción de instrumentos musicales, en cualquier caso, lo que si creo conseguir es sembrar la inquietud y que en el futuro se impongan estos criterios por ser demasiado evidentes, quedando como una evolución normal (prebarroca, barroca, clásica, contemporánea, y .......).
Anexo
| TABLAS DE CORRESPONDENCIA | ||
| FRECUENCIAS = DIVISIÓN DE TRASTES | ||
| Actuales | Ajustadas a nodales de octava |
|
| Mi | 659,255114 | 645,079578 |
|---|---|---|
| 622,253967 | 608,874043 | |
| Re | 587,329536 | 574,700569 |
| 554,365262 | 542,445104 | |
| Do | 523,251131 | 512,000000 |
| Si | 493,883301 | 483,263648 |
| 466,163762 | 456,140144 | |
| La | 440,000000 | 430,538965 |
| 415,304698 | 406,374669 | |
| Sol | 391,995436 | 383,566612 |
| 369,994423 | 362,038672 | |
| Fa | 349,228231 | 341,719003 |
| Mi | 329,627557 | 322,539789 |
| 311,126984 | 304,437021 | |
| Re | 293,664768 | 287,350284 |
| 277,182631 | 271,222552 | |
| Do | 261,625565 | 256,000000 |
| Si | 246,941651 | 241,631824 |
| 233,081881 | 228,070072 | |
| La | 220,000000 | 215,269482 |
| 207,652349 | 203,187335 | |
| Sol | 195,997718 | 191,783306 |
| 184,997211 | 181,019336 | |
| Fa | 174,614116 | 170,859501 |
| Mi | 164,813778 | 161,269894 |
La diferencia es aproximadamente de un cuarto de tono, de nuevo coincide con otro hecho histórico, el de los guitarristas que empíricamente afinaban a 430 Hz, por que les gustaba más el sonido.
Resumiendo, y mientras no cambie la afinación con el La en 440 Hz el “tiro” de la guitarra ha de ser el de 659.2551 mm. Actualmente, ya se han construido varias guitarras con el “tiro” del intervalo inferior 622,2539 mm y se han conseguido buenos resultados de sonoridad, de esta forma comprobaremos, si la incomodidad que manifiestan los guitarristas aduciendo razones anatómicas está relacionada con la longitud de cuerda o con la Ley de Armónicos Universales, que condiciona su percepción musical, consecuencia de las características del ser humano.
