Respuesta a "El tiro de la guitarra"

La formación de la escala musical
y el tiro de la Guitarra

(Por José Mª Fernández Rodrigo)

Después de haber leido el artículo de D. Juan Menduiña Fernández, publicado en el nº 3 de la revista OpusMusica, correspondiente al mes de marzo de 2.006, titulado. El "tiro" de la guitarra. La afinación de la orquesta y el "tiro" de la guitarra, dos polémicas sin resolver.

No estoy de acuerdo en cómo aborda el tema, los parámetros que utiliza y las conclusiones a las que llega. Me parece una teoría llena de conceptos erróneos y entra en contradicciones dentro del mismo articulo. Es largo desmenuzar cada párrafo y encontrar el error, así como aclarar cada concepto. Desde el propio DIAPASON, que como otras unidades de medida es solo un convenio, (metro, segundo, pulgada, etc.). Que el Sr. Menduiña lo llama "nota de octava", para empezar a confundir.

A nivel musical, tenemos que partir de la escala que queremos construir para luego situarla en el instrumento y se pueda reproducir. En primer lugar para construir la escala musical, hay que partir de dos cosas:

1. Un Sonido patrón (DIAPASON)
2. Los Intervalos Generadores.

El DIAPASON ha variado a lo largo de la historia, y pongo unos ejemplos:

Año	Nombre	Frecuencia
1495	Catedral de Halberstadt	506
1636	Mersenne (tono de cámara)	563
1648	Espineta de Mersenne	403
1780	Diapasón de Mozart	422
1810	Diapasón medio de París	423
1834	Scheibler: (Congreso de Sttugart)	440
1885	Conferencia de Viena	435
1953	Conferencia de Londres	440

Actualmente el DIAPASON OFICIAL es el de La4 =440 Hz (5º traste de la primera cuerda en la Guitarra) y la escala del Temperamento Igual; tambien se utiliza el La4 = 415 Hz, en Temperamento Mesotónico, para Música Antigua, como sistemas mas habituales.

Una vez elegido el patrón, pensamos en formar la escala utilizando los Intervalos Generadores.

Pitágoras, cuando analiza empíricamente los INTERVALOS CONSONANTES PUROS, se fija precisamente en divisiones de una cuerda vibrante que corresponde a fracciones enteras de la cuerda, es decir mitad, un tercio, un cuarto, etc.. Establece unas relaciones entre la longitud de la cuerda y los distintos intervalos consonantes: Octava: 2/1, Quinta: 3/2, Cuarta: 4/3, no solo de la octava como dice el Sr. Menduiña. Se come 1014 armónicos para hacer otra pirueta y volver a confundir. LA SERIE ARMONICA NO ES UNA SERIE BINARIA.

Posteriormente, cuando se aplican los conocimientos de física acústica, se ve que las consonancias de Pitágoras coinciden con la situación de los distintos armónicos, según el teorema de Fourier, que son frecuencias múltiplos enteros de la fundamental, y por lo tanto los verdaderos puntos nodales de cada armónico son los correspondientes a las fracciones enteras de la cuerda: Frecuencia doble - mitad de la cuerda; frecuencia triple – un tercio de la cuerda, frecuencia cuadruple – un cuarto de la cuerda; y así sucesivamente. El primero en establecer esta relación entre la consonancia de los sonidos y su base física fue: Giovanni Battista Benedetti (1530-1590), según explica J. Goldáraz en su libro “Afinación y Temperamento en la Música Occidental”, Ed. Alianza Música.

Pondré un ejemplo de INTERVALO CONSONANTE PURO, analizando los espectros armónicos de cada sonido:

Como sabemos, la quinta cuerda al aire produce la nota La2 = 110 Hz. Sus armónicos resultan de multiplicar x1, x2, x3, x4, x5, x6 etc. la frecuencia de la nota fundamental, por tanto corresponderían con fracciones 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 etc. de la cuerda. Su intervalo de quinta será Mi3 = 165 Hz. y sus armónicos igualmente x1, x2, x3, x4, x5, x6, etc.

ARMÓNICO	NOTA	ARMÓNICO	NOTA
1º	LA2 (110Hz)
		1º	MI3 (165Hz)
2º	LA3 (220Hz)
3º	MI4 (330Hz)	2º	MI4 (330Hz)
4º	LA4 (440Hz)
		3º	SI4 (495Hz)
5º	DO#5 (550Hz)
6º	MI5 (660Hz)	4º	MI5 (660Hz)

Comparando los dos sonidos que forman el intervalo vemos la correspondencia del tercer armónico del La con el segundo del Mi, de ahí la consonancia 3/2. De tal manera que utilizando sucesivos intervalos de QUINTA PURA, llegamos a completar la octava, que era el sistema de AFINACIÓN PITAGORICA. Es lo que normalmente llamamos Circulo de Quintas.

Pero aparece un problema al comparar el recorrido de 12 “QUINTA PURAS” CON EL DE 7 OCTAVAS, que es la misma distancia que recorremos, avanzando por quintas o por octavas. Surge la diferencia, que se calcula en Cents, de 23,46 Cents, que es el tamaño de la famosa COMA PITAGORICA. En la Afinación Pitagórica solucionan el cierre de la octava descontando a una quinta pura (701,96 Cents) los 23,46 Cents sobrantes, quedando una quinta con 678,5 Cents, que es la “Quinta del Lobo” y así podemos completar la serie de quintas.

En el TEMPERAMENTO IGUAL, la Coma Pitagórica se distribuye entre las 12 quintas, quedando todas a una distancia de 700 Cents (La440 / Mi659,25) y como consecuencia no quedan intervalos consonantes puros nada mas que el de octava. (Ver Libro de J. Goldáraz).

Esto quiere decir que las divisiones de frecuencias del Temperamento Igual, NO COINCIDEN con la división de los Armónicos Naturales, NO “ARMÓNICOS UNIVERSALES”, como llama el Sr. Menduiña. Una vez conocidos los 12 semitonos iguales es cuando deducimos las famosa constante K = 1,0594630943593, que paralelamente nos sirve para calcular los TRASTES DE LA GUITARRA Y SU FRECUENCIA. Cosa que el Sr. Menduiña parece que niega, y utiliza otra fórmula para hacer su malabarismo de relacionar Hz con centímetros. Utilizando la fórmula que relaciona la frecuencia con la longitud de onda, la plantea, pero no la desarrolla, porque se vería el “truco”.

Resulta un longitud de onda de 52 centímetros. Y ¿el tiro 660 cm. de donde sale?. (Ver esta página Web)

La fórmula correcta es:

Esta fórmula, aparece en todos los libros de física o página Web que hable de la acústica de una cuerda vibrante, como por ejemplo esta. Como se ve, la frecuencia esta en razón de la longitud (L) y de la tensión (T), además de las características propias de la cuerda (densidad d y sección S), de tal forma que a menor longitud, mayor frecuencia, a mayor tensión mayor frecuencia. Nosotros solo podemos actuar en la tensión al afinar y en la longitud al cambiar de traste. También podemos deducir que se puede tener la misma frecuencia variando, por ejemplo, L (el tiro) y T (la tensión). De tal manera que a MAYOR TIRO, MAYOR TENSIÓN. Cosa que influye en la comodidad a la hora de tocar.

El “tiro exacto” no existe. Los luthier, por diversos motivos, han construido instrumentos de diferente tamaño sin que eso fuera problema alguno. Pongo un ejemplo sobre Stradivarius: En el libro: “Il Violoncello”, de Lauro Malusi, Ed. Zanibon, página 164, hay una tabla con 23 violonchelos, de Antonio Stradivari, de distintos tamaños. ¿Estaba equivocado “ANTONIO SATRADIVARI”? Lo dudo. Además, en los artículos del Instituto Schiler, defienden a Satradivari, y con razón.

¿Que es el valor medio del rango del instrumento? El rango de frecuencias de la guitarra llega desde la 6ª cuerda al aire (Mi2 - 82,41 Hz), hasta la 1ª en el traste 19 (Si5 – 987,76 Hz.). También tenemos un Mi en el traste 12 de la sexta cuerda (164,81 Hz), ¿podemos hacer otra guitarra con ese tiro?. En un violín, como la frecuencia de la 1ª cuerda del violín es también 659,25 Hz pues haremos un violín de tiro 659, en consecuencia como el violonchelo, su primera cuerda La es 110 Hz haremos un violonchelo de tiro 110. Tendríamos un violín mas grande que un violonchelo. Otro absurdo. Pensemos que existen otros instrumentos como la mandolina, bandurria, laud, y muchos otros, con trastes, y con tiros diferentes, y todos deben cumplir la misma regla. Otro ejemplo puede ser: La guitarra romántica, era mas pequeña (tiro 625 – Gaetano Guadagnini). Podemos elegir cualquier tiro y calcular la distribución de los trastes con la fórmula y la constante K. Basta con dividir el tiro por la constante hasta llegar la traste que queramos. Ejemplos: He puesto los habituales 650, 660 y otro, al azar: 487, aunque solo hasta el traste 12:

TIRO	650,00	660,00	487,00
TRASTE-1	613,52	622,96	459,67
TRASTE-2	579,08	587,99	433,87
TRASTE-3	546,58	554,99	409,52
TRASTE-4	515,91	523,84	386,53
TRASTE-5	486,95	494,44	364,84
TRASTE-6	459,62	466,69	344,36
TRASTE-7	433,82	440,50	325,03
TRASTE-8	409,47	415,77	306,79
TRASTE-9	386,49	392,44	289,57
TRASTE-10	364,80	370,41	273,32
TRASTE-11	344,33	349,62	257,98
TRASTE-12	325,00	330,00	243,50

Como se ve, se pueden calcular trastes y frecuencias para cualquier tiro, y no solo ahora. Los logaritmos se inventaron en los siglos XI – XII, y se han utilizado, a lo largo de la historia, para calcular EXACTAMENTE, las divisiones de la escala, pero no solo en 12 partes iguales, si no en 19, 31...., como en el libro de José Zaragozá “Fabrica y uso de varios instrumentos matemáticos”, Madrid 5 de Noviembre de 1675. Era catedrático de Matemáticas y ya habla de la división de los 12 trastes en instrumentos de cuerda pulsada.

El Sr. Menduiña pone una tabla con la situación de las notas en la primera cuerda y resulta que al subir de traste las frecuencias bajan, cosa que es justo al contrario, como sabe cualquiera que toque la guitarra. Para a continuación contradecirse y decir: “La ultima frecuencia calculada (329,63), se corresponde con el Mi de la primera cuerda al aire, es decir la progresión de frecuencias es inversa a la progresión nodal”. Los nodos de los armónicos no coinciden con los trastes en el Temperamento Igual, al no ser intervalos consonantes puros.

Vuelve, el Sr. Menduiña, con otra cábala al asignar un diapasón Do 512 Hz, sacado de su serie armónica binaria y comiéndose 1014 armónicos, y ya hemos visto, por el teorema de Fourier, que no es una serie binaria. Y Confunde la obra de M. Mersenne “Harmonie Universelle” (París 1636-37), y llama armónicos universales a los armónicos naturales. Para colmo M. Mersenne propone una escala dividida en 31 partes. Todo esto solo para aproximarse al tiro 650 y contentar a todos. No se sabe muy bien al final que defiende, pero lo que no me parece bien es que pretenda “la implantación de los principios que se han expuesto” como si fuera una prótesis que necesitamos.

Escribir a José Mª Fernández Rodrigo